Mitä ovat fraktaalit: matematiikan kauneus ja äärettömyys

2024 Kirjoittaja: Seth Attwood | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-16 16:04

Fraktaalit ovat olleet tunnettuja vuosisadan ajan, niitä on tutkittu hyvin ja niillä on lukuisia sovelluksia elämässä. Tämä ilmiö perustuu kuitenkin hyvin yksinkertaiseen ajatukseen: suhteellisen yksinkertaisista rakenteista voidaan saada lukuisia muotoja, kauneudeltaan ja monimuotoisuudeltaan ääretöntä käyttämällä vain kahta toimintoa - kopiointia ja skaalausta.

Mitä yhteistä on puulla, merenrannalla, pilvellä tai käsissämme olevilla verisuonilla? Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että kaikilla näillä esineillä ei ole mitään yhteistä. Itse asiassa kaikille luetelluille objekteille on kuitenkin yksi rakenteen ominaisuus: ne ovat itse samankaltaisia. Oksasta, samoin kuin puun rungosta, on pienempiä oksia, niistä - jopa pienempiä jne., Eli oksa on kuin koko puu.

Verenkiertojärjestelmä on järjestetty samalla tavalla: valtimot lähtevät valtimoista ja niistä - pienimmät kapillaarit, joiden kautta happi pääsee elimiin ja kudoksiin. Katsotaanpa satelliittikuvia meren rannikolta: näemme lahtia ja niemimaita; katsotaanpa sitä, mutta lintuperspektiivistä: näemme lahtia ja niemiä; Kuvitellaan nyt, että seisomme rannalla ja katsomme jalkojamme: aina on kiviä, jotka työntyvät veteen kauemmaksi kuin muut.

Toisin sanoen rantaviiva pysyy samanlaisena kuin itse, kun se zoomataan. Amerikkalainen (vaikkakin Ranskassa kasvatettu) matemaatikko Benoit Mandelbrot kutsui tätä esineiden ominaisuutta fraktaaliseksi ja itse tällaisia esineitä fraktaaleiksi (latinan sanasta fractus - rikki).

Mikä on fraktaali?

Tällä käsitteellä ei ole tiukkaa määritelmää. Siksi sana "fraktaali" ei ole matemaattinen termi. Fraktaali on tyypillisesti geometrinen kuvio, joka täyttää yhden tai useamman seuraavista ominaisuuksista: • Sillä on monimutkainen rakenne millä tahansa suurennuksella (toisin kuin esimerkiksi suoralla viivalla, jonka mikä tahansa osa on yksinkertaisin geometrinen kuvio - a) Jana). • On (likimäärin) samankaltainen. • Sillä on murto-osa Hausdorff (fraktaali) -ulottuvuus, joka on suurempi kuin topologinen. • Voidaan rakentaa rekursiivisilla menettelyillä.

Geometria ja algebra

Fraktaalien tutkimus 1800- ja 1900-luvun vaihteessa oli pikemminkin episodista kuin systemaattista, sillä aikaisemmat matemaatikot tutkivat pääasiassa "hyviä" esineitä, jotka olivat tutkittavissa yleisillä menetelmillä ja teorioilla. Vuonna 1872 saksalainen matemaatikko Karl Weierstrass rakensi esimerkin jatkuvasta funktiosta, joka ei ole missään erotettavissa. Sen rakenne oli kuitenkin täysin abstrakti ja vaikeasti havaittavissa.

Siksi ruotsalainen Helge von Koch keksi vuonna 1904 jatkuvan käyrän, jolla ei ole tangenttia missään, ja se on melko yksinkertainen piirtää. Kävi ilmi, että sillä on fraktaalin ominaisuuksia. Yksi tämän käyrän muunnelmista on nimeltään "Koch-lumihiutale".

Figuurien samankaltaisuuden ideat poimi ranskalainen Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbrotin tuleva mentori. Vuonna 1938 hän julkaisi artikkelinsa "Taso- ja spatiaaliset käyrät ja pinnat, jotka koostuvat kokonaisuuden kaltaisista osista", joka kuvaa toista fraktaaleja - Lévyn C-käyrää. Kaikki nämä edellä mainitut fraktaalit voidaan ehdollisesti katsoa kuuluvan yhteen konstruktiivisten (geometristen) fraktaalien luokkaan.

Toinen luokka on dynaamiset (algebralliset) fraktaalit, jotka sisältävät Mandelbrot-joukon. Ensimmäiset tutkimukset tähän suuntaan alkoivat 1900-luvun alussa ja liittyvät ranskalaisten matemaatikoiden Gaston Julian ja Pierre Fatoun nimiin. Vuonna 1918 julkaistiin Julian lähes kaksisataasivuinen muistelma, joka oli omistettu monimutkaisten rationaalisten funktioiden iteraatioille, ja jossa kuvattiin Julian joukkoja - koko fraktaaleja, jotka liittyvät läheisesti Mandelbrotin joukkoon. Tämä teos palkittiin Ranskan Akatemian palkinnolla, mutta se ei sisältänyt yhtään kuvitusta, joten löydettyjen esineiden kauneutta oli mahdotonta arvostaa.

Huolimatta siitä, että tämä työ ylisti Juliaa aikansa matemaatikoiden joukossa, se unohdettiin nopeasti. Vasta puoli vuosisataa myöhemmin tietokoneet nousivat jälleen huomion kohteeksi: ne tekivät fraktaalimaailman rikkauden ja kauneuden näkyväksi.

Fraktaalimitat

Kuten tiedät, geometrisen kuvion mitta (mittausten lukumäärä) on koordinaattien määrä, joka tarvitaan määrittämään tässä kuviossa olevan pisteen sijainti.

Esimerkiksi pisteen sijainti käyrällä määräytyy yhdellä koordinaatilla, pinnalla (ei välttämättä tasolla) kahdella koordinaatilla, kolmiulotteisessa avaruudessa kolmella koordinaatilla.

Yleisemmästä matemaattisesta näkökulmasta voit määrittää ulottuvuuden tällä tavalla: lineaaristen mittojen kasvu, esimerkiksi kaksinkertainen, yksiulotteisten (topologisesta näkökulmasta) objektien (segmentin) osalta johtaa koon kasvuun. (pituus) kahdesti, kaksiulotteisessa (neliö) sama lineaaristen mittojen lisäys johtaa koon (pinta-alan) kasvuun 4-kertaiseksi, kolmiulotteisen (kuutio) - 8-kertaiseen. Toisin sanoen "todellinen" (niin kutsuttu Hausdorff) -ulottuvuus voidaan laskea objektin "koon" kasvun logaritmin ja sen lineaarisen koon kasvun logaritmin suhteena. Eli segmentille D = log (2) / log (2) = 1, tasolle D = log (4) / log (2) = 2, tilavuudelle D = log (8) / log (2)) = 3.

Lasketaan nyt Koch-käyrän ulottuvuus, jonka rakentamista varten yksikkösegmentti jaetaan kolmeen yhtä suureen osaan ja keskiväli korvataan tasasivuisella kolmiolla ilman tätä segmenttiä. Kun minimisegmentin lineaariset mitat kasvavat kolme kertaa, Koch-käyrän pituus kasvaa log (4) / log (3) ~ 1, 26. Toisin sanoen Koch-käyrän mitta on murto-osa!

Tiede ja taide

Vuonna 1982 julkaistiin Mandelbrotin kirja "Luonnon fraktaaligeometria", johon kirjailija keräsi ja systematisoi lähes kaiken tuolloin saatavilla olevan tiedon fraktaaleista ja esitti sen helposti ja helposti saatavilla olevalla tavalla. Mandelbrot ei esitelmässään pääpainottanut hankalia kaavoja ja matemaattisia rakenteita, vaan lukijoiden geometristä intuitiota. Tietokoneella luotujen kuvitusten ja historiallisten tarinoiden ansiosta, joilla kirjailija laimensi taitavasti monografian tieteellistä osaa, kirjasta tuli bestseller ja fraktaalit tulivat suuren yleisön tunnetuiksi.

Heidän menestys ei-matemaatikoiden keskuudessa johtuu suurelta osin siitä, että hyvin yksinkertaisten rakenteiden ja lukiolaisen ymmärtämien kaavojen avulla saadaan hämmästyttävän monimutkaisia ja kauniita kuvia. Kun henkilökohtaisista tietokoneista tuli tarpeeksi tehokkaita, ilmestyi jopa koko taiteen suuntaus - fraktaalimaalaus, ja melkein kuka tahansa tietokoneen omistaja pystyi siihen. Nyt Internetistä löydät helposti monia tälle aiheelle omistettuja sivustoja.

Sota ja rauha

Kuten edellä todettiin, yksi luonnon esineistä, joilla on fraktaaliominaisuuksia, on rannikko. Yksi mielenkiintoinen tarina liittyy häneen, tai pikemminkin yritykseen mitata sen pituus, joka muodosti perustan Mandelbrotin tieteelliselle artikkelille ja jota kuvataan myös hänen kirjassaan "Luonnon fraktaaligeometria".

Tämän kokeen järjesti Lewis Richardson, erittäin lahjakas ja eksentrinen matemaatikko, fyysikko ja meteorologi. Yksi hänen tutkimuksensa suuntauksista oli yritys löytää matemaattinen kuvaus maiden välisen aseellisen konfliktin syistä ja todennäköisyydestä. Hänen huomioimiensa parametrien joukossa oli kahden taistelevan maan yhteisen rajan pituus. Kun hän keräsi tietoja numeerisia kokeita varten, hän havaitsi, että eri lähteissä tiedot Espanjan ja Portugalin yhteisestä rajasta ovat hyvin erilaisia.

Tämä sai hänet havaitsemaan seuraavan: maan rajojen pituus riippuu viivaimesta, jolla ne mitataan. Mitä pienempi mittakaava, sitä pidempi reuna on. Tämä johtuu siitä, että suuremmalla suurennuksella on mahdollista ottaa huomioon yhä enemmän rannikkokaarta, jotka aiemmin jätettiin huomiotta mittausten epätasaisuuden vuoksi. Ja jos jokaisella mittakaavan lisäyksellä avautuvat aiemmin huomioimattomat viivojen mutkat, niin käy ilmi, että rajojen pituus on ääretön! Totta, todellisuudessa näin ei tapahdu - mittaustemme tarkkuudella on rajallinen raja. Tätä paradoksia kutsutaan Richardsonin efektiksi.

Konstruktiiviset (geometriset) fraktaalit

Algoritmi konstruktiivisen fraktaalin muodostamiseksi yleisessä tapauksessa on seuraava. Ensinnäkin tarvitsemme kaksi sopivaa geometrista muotoa, kutsutaan niitä pohjaksi ja fragmentiksi. Ensimmäisessä vaiheessa kuvataan tulevan fraktaalin perusta. Sitten jotkut sen osista korvataan sopivassa mittakaavassa otetulla fragmentilla - tämä on rakentamisen ensimmäinen iteraatio. Sitten tuloksena oleva kuvio muuttaa taas osan osista fragmentin kaltaisiksi hahmoiksi jne. Jos tätä prosessia jatketaan loputtomiin, niin rajassa saadaan fraktaali.

Tarkastellaan tätä prosessia käyttämällä esimerkkinä Koch-käyrää. Koch-käyrän perustaksi voit ottaa minkä tahansa käyrän ("Kochin lumihiutaleelle" se on kolmio). Mutta rajoitamme itsemme yksinkertaisimpaan tapaukseen - segmenttiin. Fragmentti on katkoviiva, joka näkyy kuvan yläosassa. Algoritmin ensimmäisen iteraation jälkeen, tässä tapauksessa, alkuperäinen segmentti osuu yhteen fragmentin kanssa, minkä jälkeen jokainen sen muodostava segmentti korvataan katkoviivalla, joka on samanlainen kuin fragmentti, jne. Kuvassa on neljä ensimmäistä vaihetta Tämä prosessi.

Matematiikan kielellä: dynaamiset (algebralliset) fraktaalit

Tämän tyyppiset fraktaalit syntyvät epälineaaristen dynaamisten järjestelmien tutkimuksessa (tästä nimi). Tällaisen järjestelmän käyttäytymistä voidaan kuvata kompleksisella epälineaarisella funktiolla (polynomilla) f(z). Ota jokin aloituspiste z0 kompleksitasolla (katso sivupalkki). Tarkastellaan nyt sellaista ääretöntä lukujonoa kompleksitasolla, joista jokainen on saatu edellisestä: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn)).

Alkupisteestä z0 riippuen tällainen sekvenssi voi käyttäytyä eri tavalla: taipua äärettömyyteen muodossa n -> ∞; lähentyä johonkin päätepisteeseen; ota syklisesti useita kiinteitä arvoja; myös monimutkaisemmat vaihtoehdot ovat mahdollisia.

Monimutkaiset luvut

Kompleksiluku on luku, joka koostuu kahdesta osasta - reaali- ja imaginaariosasta, eli muodollisesta summasta x + iy (tässä x ja y ovat reaalilukuja). minä olen ns. imaginaariyksikkö, eli luku, joka täyttää yhtälön i ^ 2 = -1. Matemaattiset perusoperaatiot määritellään kompleksiluvuilla - yhteen-, kerto-, jakolasku- ja vähennyslasku (vain vertailuoperaatiota ei ole määritelty). Kompleksilukujen näyttämiseen käytetään usein geometristä esitystapaa - tasossa (jota kutsutaan kompleksiksi), reaaliosa asetetaan abskissalle ja imaginaariosa ordinaatalle, kun taas kompleksiluku vastaa pistettä, jossa on suorakulmainen luku. koordinaatit x ja y.

Siten millä tahansa kompleksisen tason pisteellä z on oma käyttäytymisensä funktion f (z) iteraatioiden aikana, ja koko taso on jaettu osiin. Tässä tapauksessa näiden osien rajoilla sijaitsevilla pisteillä on seuraava ominaisuus: mielivaltaisen pienellä siirtymällä niiden käyttäytymisen luonne muuttuu jyrkästi (tällaisia pisteitä kutsutaan bifurkaatiopisteiksi). Joten käy ilmi, että pistejoukoilla, joilla on tietyntyyppinen käyttäytyminen, samoin kuin bifurkaatiopisteiden joukot, on usein fraktaaliominaisuuksia. Nämä ovat Julia-joukot funktiolle f (z).

Lohikäärmeiden perhe

Vaihtelemalla pohjaa ja fragmenttia saat hämmästyttävän valikoiman rakentavia fraktaaleja.

Lisäksi samanlaisia operaatioita voidaan suorittaa kolmiulotteisessa avaruudessa. Esimerkkejä tilavuusfraktaaleista ovat Mengerin sieni, Sierpinskin pyramidi ja muut.

Lohikäärmeperhettä kutsutaan myös rakentaviksi fraktaaleiksi. Joskus heitä kutsutaan löytäjien nimellä "Highway-Harterin lohikäärmeiksi" (muodoltaan ne muistuttavat kiinalaisia lohikäärmeitä). On olemassa useita tapoja piirtää tämä käyrä. Yksinkertaisin ja intuitiivisin niistä on tämä: sinun on otettava riittävän pitkä paperinauha (mitä ohuempi paperi, sitä parempi) ja taittaa se puoliksi. Taivuta sitä sitten kahdesti uudelleen samaan suuntaan kuin ensimmäistä kertaa.

Useiden toistojen jälkeen (yleensä viiden tai kuuden taitoksen jälkeen nauhasta tulee liian paksu, jotta sitä ei voi taivuttaa edelleen), sinun on taivutettava nauha taaksepäin ja yritettävä muodostaa 90˚ kulmia taitteisiin. Sitten lohikäärmeen käyrä kääntyy profiilissa. Tietenkin tämä on vain likimääräistä, kuten kaikki yrityksemme kuvata fraktaaliobjekteja. Tietokoneen avulla voit kuvata monia muita vaiheita tässä prosessissa, ja tuloksena on erittäin kaunis hahmo.

Mandelbrot-sarja on rakennettu hieman eri tavalla. Tarkastellaan funktiota fc (z) = z ^ 2 + c, missä c on kompleksiluku. Muodostetaan tämän funktion sekvenssi, jossa z0 = 0, parametrista c riippuen se voi poiketa äärettömään tai pysyä rajoitettuna. Lisäksi kaikki c:n arvot, joille tämä sekvenssi on rajoitettu, muodostavat Mandelbrot-joukon. Mandelbrot itse ja muut matemaatikot tutkivat sitä yksityiskohtaisesti, jotka löysivät tämän joukon monia mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Nähdään, että Julia- ja Mandelbrot-joukkojen määritelmät ovat samanlaisia. Itse asiassa nämä kaksi sarjaa liittyvät läheisesti toisiinsa. Nimittäin Mandelbrot-joukko on kaikki kompleksiparametrin c arvot, jolle Julia-joukko fc (z) on kytketty (joukkoa kutsutaan yhdistetyksi, jos sitä ei voida jakaa kahteen erilliseen osaan tietyin lisäehdoin).

Fraktaalit ja elämä

Nykyään fraktaalien teoriaa käytetään laajasti ihmisen toiminnan eri aloilla. Puhtaasti tieteellisen tutkimuskohteen ja jo mainitun fraktaalimaalauksen lisäksi fraktaaleja käytetään informaatioteoriassa graafisen datan pakkaamiseen (tässä käytetään pääasiassa fraktaalien itsesamankaltaisuusominaisuutta - loppujen lopuksi pienen palan muistamiseksi piirustus ja muunnokset, joilla saat loput osat, muistia tarvitaan paljon vähemmän kuin koko tiedoston tallentamiseen).

Lisäämällä fraktaaleja määrittäviin kaavoihin satunnaisia häiriöitä voidaan saada stokastisia fraktaaleja, jotka välittävät erittäin uskottavalla tavalla joitain todellisia esineitä - kohokuvioita, vesistöjen pintaa, joitain kasveja, joita käytetään menestyksekkäästi fysiikassa, maantiedossa ja tietokonegrafiikassa suuremman saavuttamiseksi. simuloitujen objektien samankaltaisuus todellisen kanssa. Elektroniikassa valmistetaan antenneja, joilla on fraktaalimuoto. Vievät vähän tilaa ja tarjoavat varsin laadukkaan signaalin vastaanoton.

Ekonomistit käyttävät fraktaaleja kuvaamaan valuuttakurssikäyriä (Mandelbrotin löytämä ominaisuus). Tämä päättää tämän pienen retken fraktaalien hämmästyttävän kauniiseen ja monipuoliseen maailmaan.