Universumimme litteä, pallomainen vai hyperbolinen muoto?

2024 Kirjoittaja: Seth Attwood | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-16 16:04

Näkemyksemme mukaan universumi on ääretön. Nykyään tiedämme, että maapallolla on pallon muotoinen, mutta harvoin ajattelemme maailmankaikkeuden muotoa. Geometriassa on monia kolmiulotteisia muotoja vaihtoehtona "tutulle" äärettömälle avaruudelle. Kirjoittajat selittävät eron saavutettavimmassa muodossa.

Yötaivasta katsottuna näyttää siltä, että avaruus jatkuu ikuisesti kaikkiin suuntiin. Näin kuvittelemme maailmankaikkeuden - mutta emme sitä tosiasiaa, että se on totta. Loppujen lopuksi oli aika, jolloin kaikki ajattelivat, että maa on litteä: maan pinnan kaarevuus on huomaamaton, ja ajatus siitä, että maa on pyöreä, tuntui käsittämättömältä.

Nykyään tiedämme, että maapallo on pallon muotoinen. Mutta harvoin ajattelemme maailmankaikkeuden muotoa. Kun pallo korvasi litteän maan, muut kolmiulotteiset muodot tarjoavat vaihtoehtoja "tutulle" äärettömälle avaruudelle.

Universumin muodosta voidaan esittää kaksi kysymystä - erilliset, mutta toisiinsa liittyvät. Yksi koskee geometriaa - kulmien ja alueiden huolellisia laskelmia. Toinen koskee topologiaa: kuinka erilliset osat sulautuvat yhdeksi muodoksi.

Kosmologiset tiedot viittaavat siihen, että maailmankaikkeuden näkyvä osa on sileä ja homogeeninen. Avaruuden paikallinen rakenne näyttää lähes samalta joka pisteessä ja joka suunnassa. Vain kolme geometristä muotoa vastaavat näitä ominaisuuksia - litteä, pallomainen ja hyperbolinen. Katsotaanpa näitä muotoja vuorotellen, joitain topologisia pohdintoja ja kosmologisiin tietoihin perustuvia johtopäätöksiä.

Tasainen universumi

Itse asiassa tämä on koulun geometriaa. Kolmion kulmien summa on 180 astetta ja ympyrän pinta-ala on πr2. Yksinkertaisin esimerkki litteästä kolmiulotteisesta muodosta on tavallinen ääretön avaruus, matemaatikot kutsuvat sitä euklidiseksi, mutta on myös muita litteitä vaihtoehtoja.

Näitä muotoja ei ole helppo kuvitella, mutta voimme yhdistää intuitiomme ajattelemalla kahdessa ulottuvuudessa kolmen sijasta. Tavallisen euklidisen tason lisäksi voimme luoda muita litteitä muotoja leikkaamalla tasosta palan ja liimaamalla sen reunat. Oletetaan, että leikkaamme suorakaiteen muotoisen paperin ja teippaamme sen vastakkaiset reunat teipillä. Jos liimaa yläreunan alareunaan, saat sylinterin.

Voit myös liimata oikean reunan vasemmalle - sitten saamme donitsin (matemaatikot kutsuvat tätä muotoa torukseksi).

Todennäköisesti vastustat: "Jokin ei ole kovin tasaista." Ja olet oikeassa. Petimme hieman litteän toruksen suhteen. Jos todella yrität tehdä torusta paperinpalasta tällä tavalla, kohtaat vaikeuksia. Sylinterin tekeminen on helppoa, mutta sen päiden liimaaminen ei onnistu: paperi rypistyy toruksen sisäympyrää pitkin, mutta se ei riitä ulompaan ympyrään. Joten sinun on otettava jonkinlainen elastinen materiaali. Mutta venytys muuttaa pituutta ja kulmia ja siten koko geometriaa.

On mahdotonta rakentaa todellista sileää fyysistä torusta litteästä materiaalista tavallisen kolmiulotteisen avaruuden sisään vääristämättä geometriaa. Jää vain spekuloida abstraktisti siitä, millaista on elää litteän toruksen sisällä.

Kuvittele, että olet kaksiulotteinen olento, jonka universumi on litteä torus. Koska tämän maailmankaikkeuden muoto perustuu litteään paperiarkkiin, kaikki geometriset tosiasiat, joihin olemme tottuneet, pysyvät samoina - ainakin rajoitetussa mittakaavassa: kolmion kulmien summa on 180 astetta ja niin edelleen. Mutta kun globaali topologia muuttuu leikkaamisen ja liimauksen kautta, elämä muuttuu dramaattisesti.

Aluksi toruksessa on suoria viivoja, jotka kiertävät ja palaavat aloituspisteeseen.

Vääristyneellä toruksella ne näyttävät kaarevilta, mutta litteän toruksen asukkaille ne näyttävät suorilta. Ja koska valo kulkee suorassa linjassa, niin jos katsot suoraan mihin tahansa suuntaan, näet itsesi takaapäin.

On kuin alkuperäisellä paperilla valo olisi kulkenut läpi, mennyt vasempaan reunaan ja ilmestynyt sitten takaisin oikealle, kuten videopelissä.

Tässä on toinen tapa ajatella asiaa: sinä (tai valonsäde) ylität yhden neljästä reunasta ja löydät itsesi uudesta huoneesta, mutta itse asiassa se on sama huone, vain eri näkökulmasta. Vaeltelemalla tällaisessa universumissa törmäät loputtomaan määrään alkuperäisen huoneen kopioita.

Tämä tarkoittaa, että otat äärettömän määrän kopioita itsestäsi minne katsotkaan. Tämä on eräänlainen peiliefekti, vain nämä kopiot eivät ole tarkalleen heijastuksia.

Toruksessa jokainen niistä vastaa yhtä tai toista silmukkaa, jota pitkin valo palaa takaisin sinulle.

Samalla tavalla saamme litteän kolmiulotteisen toruksen liimaamalla kuution tai muun laatikon vastakkaiset pinnat. Emme pysty kuvaamaan tätä tilaa tavallisen äärettömän tilan sisällä - se ei yksinkertaisesti mahdu - mutta voimme abstraktisti spekuloida sen sisällä olevasta elämästä.

Jos elämä kaksiulotteisessa toruksessa on kuin loputon kaksiulotteinen joukko identtisiä suorakaiteen muotoisia huoneita, elämä kolmiulotteisessa toruksessa on kuin loputon kolmiulotteinen joukko identtisiä kuutiohuoneita. Myös sinä näet äärettömän määrän omia kopioitasi.

Kolmiulotteinen torus on vain yksi rajallisen litteän maailman kymmenestä muunnelmasta. On myös äärettömiä litteitä maailmoja - esimerkiksi äärettömän sylinterin kolmiulotteinen analogi. Jokaisella näistä maailmoista tulee olemaan oma "nauruhuone" ja "heijastuksia".

Voisiko universumimme olla yksi litteistä muodoista?

Kun katsomme avaruuteen, emme näe loputonta määrää omia kopioitamme. Siitä huolimatta litteiden muotojen poistaminen ei ole helppoa. Ensinnäkin niillä kaikilla on sama paikallinen geometria kuin euklidisella avaruudella, joten niitä ei ole mahdollista erottaa paikallisilla mittauksilla.

Oletetaan, että näit jopa oman kopiosi, tämä kaukainen kuva näyttää vain miltä sinä (tai galaksisi kokonaisuutena) näytit kaukaisessa menneisyydessä, koska valo on kulkenut pitkän matkan ennen kuin se tavoitti sinut. Ehkä näemme jopa omat kopiomme - mutta muuttuneet tuntemattomaksi. Lisäksi eri kopiot ovat eri etäisyyksillä sinusta, joten ne eivät ole samanlaisia. Ja sitä paitsi niin kaukana, että emme vieläkään näe mitään.

Näiden vaikeuksien kiertämiseksi tähtitieteilijät eivät yleensä etsi kopioita itsestään, vaan toistuvia piirteitä kaukaisimmasta näkyvästä ilmiöstä - kosmisesta mikroaaltotaustasäteilystä, tämä on alkuräjähdyksen jäänne. Käytännössä tämä tarkoittaa, että etsitään ympyräpareja, joissa on yhteensopivia kuumia ja kylmiä kohtia - oletetaan, että ne ovat samat, vain eri puolilta.

Tähtitieteilijät suorittivat juuri tällaisen haun vuonna 2015 Planck-avaruusteleskoopin ansiosta. He koonneet tietoja samantyyppisistä ympyröistä, joita odotamme näkevämme litteän 3D-toruksen tai muun litteän 3D-muodon - niin sanotun levyn - sisällä, mutta he eivät löytäneet mitään. Tämä tarkoittaa, että jos elämme toruksessa, se näyttää olevan niin suuri, että kaikki toistuvat fragmentit ovat havaittavan universumin ulkopuolella.

Pallomainen muoto

Tunnemme hyvin kaksiulotteiset pallot - tämä on pallon, appelsiinin tai maan pinta. Mutta entä jos universumimme on kolmiulotteinen pallo?

Kolmiulotteisen pallon piirtäminen on vaikeaa, mutta sitä on helppo kuvata yksinkertaisella analogialla. Jos kaksiulotteinen pallo on kokoelma kaikkia pisteitä, jotka ovat kiinteällä etäisyydellä jostakin tavallisen kolmiulotteisen avaruuden keskipisteestä, kolmiulotteinen pallo (tai "kolmiulotteinen pallo") on kokoelma kaikkia pisteitä, jotka ovat kiinteällä etäisyydellä jostakin Keskipiste neliulotteisessa avaruudessa.

Elämä trisfäärin sisällä on hyvin erilaista kuin elämä tasaisessa tilassa. Visualisoidaksesi sen kuvittele olevasi kaksiulotteinen olento kaksiulotteisessa sfäärissä. Kaksiulotteinen pallo on koko universumi, joten et voi nähdä sinua ympäröivää kolmiulotteista avaruutta etkä pääse siihen. Tässä pallomaisessa universumissa valo kulkee lyhintä tietä: suuria ympyröitä. Mutta nämä piirit näyttävät sinusta suoralta.

Kuvittele nyt, että sinä ja 2D-ystäväsi vietät aikaa pohjoisnavalla, ja hän meni kävelylle. Muuttuessasi pois, se pienenee aluksi vähitellen näköpiirissäsi - kuten tavallisessa maailmassa, vaikkakaan ei niin nopeasti kuin olemme tottuneet. Tämä johtuu siitä, että visuaalisen ympyrän kasvaessa ystäväsi vie sitä vähemmän ja vähemmän.

Mutta heti kun ystäväsi ylittää päiväntasaajan, tapahtuu jotain outoa: hänen kokonsa alkaa kasvaa, vaikka itse asiassa hän liikkuu edelleen pois. Tämä johtuu siitä, että niiden prosenttiosuus näköpiirissäsi kasvaa.

Kolmen metrin päässä etelänavalta ystäväsi näyttää seisovan kolmen metrin päässä sinusta.

Saavutettuaan etelänavalle se täyttää kokonaan koko näkyvän horisonttisi.

Ja kun etelänavalla ei ole ketään, visuaalinen horisonttisi on vieläkin outo - se olet sinä. Tämä johtuu siitä, että lähettämäsi valo leviää ympäri palloa, kunnes se tulee takaisin.

Tämä vaikuttaa suoraan elämään 3D-maailmassa. Trisfäärin jokaisella pisteellä on vastakohta, ja jos siellä on esine, näemme sen koko taivaalla. Jos siellä ei ole mitään, näemme itsemme taustalla - ikään kuin ulkonäkömme olisi asetettu ilmapallon päälle, käännetty sitten nurinpäin ja puhallettu koko horisonttiin.

Mutta vaikka trisfääri on pallogeometrian perusmalli, se ei ole kaukana ainoasta mahdollisesta avaruudesta. Kuten rakensimme erilaisia litteitä malleja leikkaamalla ja liimaamalla euklidisen avaruuden paloja, niin pystymme rakentamaan pallomaisia liimaamalla sopivia trisfäärikappaleita. Jokaisella näistä liimatuista muodoista, kuten toruksesta, on "nauruhuoneen" vaikutus, vain pallomaisissa muodoissa olevien huoneiden lukumäärä on rajallinen.

Entä jos universumimme on pallomainen?

Edes narsistisin meistä ei näe itseämme taustana yötaivaan sijasta. Mutta kuten litteän toruksen tapauksessa, se, että emme näe jotain, ei tarkoita ollenkaan, etteikö sitä olisi olemassa. Pallomaisen maailmankaikkeuden rajat voivat olla suurempia kuin näkyvän maailman rajat, eikä tausta yksinkertaisesti ole näkyvissä.

Mutta toisin kuin toru, pallomainen universumi voidaan havaita käyttämällä paikallisia mittauksia. Pallomaiset muodot eroavat äärettömästä euklidisesta avaruudesta ei vain globaalin topologian, vaan myös pienen geometrian suhteen. Esimerkiksi, koska pallogeometrian suorat ovat suuria ympyröitä, kolmiot ovat siellä "pullempia" kuin euklidiset ja niiden kulmien summa ylittää 180 astetta.

Pohjimmiltaan kosmisten kolmioiden mittaaminen on tärkein tapa tarkistaa, kuinka kaareva maailmankaikkeus on. Jokaiselle kosmisen mikroaaltouunin taustan kuumalle tai kylmälle pisteelle tunnetaan sen halkaisija ja etäisyys Maasta, jotka muodostavat kolmion kolme sivua. Voimme mitata pisteen muodostaman kulman yötaivaalla - ja tämä on yksi kolmion kulmista. Voimme sitten tarkistaa, vastaako sivujen pituuksien ja kulmien summan yhdistelmä tasomaista, pallomaista tai hyperbolista geometriaa (jossa kolmion kulmien summa on pienempi kuin 180 astetta).

Suurin osa näistä laskelmista, kuten myös muut kaarevuusmittaukset, olettaa, että maailmankaikkeus on joko täysin tasainen tai hyvin lähellä sitä. Eräs tutkimusryhmä ehdotti äskettäin, että jotkin Planck-avaruusteleskoopin vuoden 2018 tiedoista puhuvat enemmän pallomaisen universumin puolesta, vaikka toiset tutkijat väittivät, että esitetyt todisteet voisivat johtua tilastovirheestä.

Hyperbolinen geometria

Toisin kuin pallo, joka sulkeutuu itseensä, hyperbolinen geometria tai negatiivinen kaarevuus avautuu ulospäin. Tämä on leveälierisen hatun, koralliriutan ja satulan geometria. Hyperbolisen geometrian perusmalli on ääretön avaruus, aivan kuten tasainen euklidinen. Mutta koska hyperbolinen muoto laajenee ulospäin paljon nopeammin kuin litteä, ei ole mahdollista sovittaa edes kaksiulotteista hyperbolista tasoa tavalliseen euklidiseen avaruuteen, jos emme halua vääristää sen geometriaa. Mutta Poincarén levynä tunnetusta hyperbolisesta tasosta on vääristynyt kuva.

Meidän kannaltamme rajaympyrän lähellä olevat kolmiot näyttävät olevan paljon pienempiä kuin lähellä keskustaa olevat kolmiot, mutta hyperbolisen geometrian kannalta kaikki kolmiot ovat samoja. Jos yrittäisimme kuvata nämä kolmiot todella samankokoisina - ehkä käyttämällä joustavaa materiaalia ja puhaltamalla jokaista kolmiota vuorotellen keskeltä ulospäin - levymme muistuttaisi leveälieristä hattua ja taipuisi yhä enemmän. Ja kun tulet lähemmäs rajaa, tämä kaarevuus riistäytyisi hallinnasta.

Tavallisessa euklidisessa geometriassa ympyrän ympärysmitta on suoraan verrannollinen sen säteeseen, mutta hyperbolisessa geometriassa ympyrä kasvaa eksponentiaalisesti suhteessa säteeseen. Hyperbolisen kiekon rajan lähelle muodostuu pino kolmioita

Tämän ominaisuuden vuoksi matemaatikot sanovat mielellään, että hyperboliseen avaruuteen on helppo eksyä. Jos ystäväsi siirtyy pois sinusta normaalissa euklidisessa avaruudessa, hän alkaa siirtyä pois, mutta melko hitaasti, koska näköpiirisi ei kasva niin nopeasti. Hyperbolisessa avaruudessa visuaalinen ympyräsi laajenee eksponentiaalisesti, joten ystäväsi kutistuu pian äärettömän pieneksi pilkuksi. Joten jos et ole seurannut hänen reittiään, et todennäköisesti löydä häntä myöhemmin.

Jopa hyperbolisessa geometriassa kolmion kulmien summa on alle 180 astetta - esimerkiksi joidenkin Poincarén kiekkomosaiikin kolmioiden kulmien summa on vain 165 astetta.

Niiden sivut näyttävät olevan epäsuorat, mutta tämä johtuu siitä, että tarkastelemme hyperbolista geometriaa vääristävän linssin läpi. Poincarén kiekon asukkaalle nämä käyrät ovat itse asiassa suoria viivoja, joten nopein tapa päästä pisteestä A pisteeseen B (molemmat reunassa) on leikkauksen kautta keskelle.

On luonnollinen tapa tehdä kolmiulotteinen analogi Poincarén levystä - ota kolmiulotteinen pallo ja täytä se kolmiulotteisilla muodoilla, jotka vähitellen pienenevät lähestyessään rajapalloa, kuten kolmiot Poincarén levyllä. Ja kuten tasojen ja pallojen kanssa, voimme luoda joukon muita kolmiulotteisia hyperbolisia tiloja leikkaamalla sopivia paloja kolmiulotteisesta hyperbolisesta pallosta ja liimaamalla sen pinnat.

Onko universumimme hyperbolinen?

Hyperbolinen geometria kapeine kolmioineen ja eksponentiaalisesti kasvavine ympyröineen ei ole ollenkaan samanlainen kuin ympärillämme oleva tila. Todellakin, kuten olemme jo todenneet, suurin osa kosmologisista mittauksista kallistuu kohti litteää universumia.

Mutta emme voi sulkea pois sitä, että elämme pallomaisessa tai hyperbolisessa maailmassa, koska molempien maailmojen pienet palaset näyttävät lähes litteiltä. Esimerkiksi pienten kolmioiden kulmien summa pallogeometriassa on vain hieman yli 180 astetta, ja hyperbolisessa geometriassa se on vain hieman pienempi.

Siksi muinaiset ajattelivat, että maa on litteä - Maan kaarevuus ei näy paljaalla silmällä. Mitä suurempi pallomainen tai hyperbolinen muoto on, sitä litteämpi sen jokainen osa on, joten jos universumillamme on erittäin suuri pallomainen tai hyperbolinen muoto, sen näkyvä osa on niin lähellä litteää, että sen kaarevuus voidaan havaita vain erittäin tarkoilla instrumenteilla, emmekä ole vielä keksineet niitä….